La bella Elena

Per congiungere due punti situati a quota diversa, la distanza minima è rappresentata dal segmento che unisce i due punti: non è detto però che questa sia anche la strada che fa impiegare meno tempo.

DSC03762.JPGEsso infatti è dovuto all’accelerazione e quindi alla velocità che si acquista nella discesa: questo scivolo curvilineo, a forma di cicloide, è quello che minimizza il tempo di percorrenza.

Il problema della brachistocrona e la cicloide.

File_001 (3).jpegConsideriamo due punti posti a quota diversa e immaginiamo di unirli con un tubo flessibile (ad esempio di gomma): quale forma dovrà assumere il tubo affinché una pallina possa passare dall’uno all’altro nel minor tempo possibile?

 

Non è detto che la strada rettilinea che congiunge due punti a quota diversa sia anche la strada che fa impiegare meno tempo.

In questo dispositivo vi sono due sferette che partono assieme e che percorrono due cammini molto diversi: il primo è costituito da uno scivolo rettilineo, mentre il secondo è uno scivolo curvilineo, molto più lungo.

cicloide.PNG

V. Zanetti spiega il problema della brachistocrona (edizione 1992)

La sferetta che cade lungo lo scivolo curvilineo raggiunge molto in fretta una velocità elevata, poiché all’inizio essa è praticamente in caduta libera. Questa sferetta acquista un vantaggio talmente grande, rispetto all’altra che si muove sullo scivolo rettilineo, che, anche se alla fine dello scivolo curvilineo deve andare un po’ in salita, riesce ugualmente ad arrivare prima al traguardo.

È evidente che lo scivolo curvilineo non può avere un profilo qualsiasi, affinché il tempo di percorrenza sia minimo tra tutti gli scivoli curvilinei possibili.

Questo problema fu risolto da Bernoulli nel 1696: la soluzione al problema della brachistocrona (dal greco “brakhistos” = più corto e “khronos” = tempo”) è la cicloide, ossia quella curva descritta da una circonferenza che rotola senza strisciare:

Moglfm1324_cicloide

(fonte immagine libera)

Si può disegnarla puntando una matita in un punto di un cerchio e facendolo rotolare.

La cicloide è detta anche la bella Elena della geometria o della matematica:  in parte per la sua perfezione dal punto di vista estetico, in parte perché ha originato varie dispute tra matematici.

Approfondimenti

La cicloide – UNITN

La cicloide – UNIBO

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